TRIGONOMETRI: NILAI ISTIMEWA, SIFAT-SIFAT, DAN RUMUS PENJUMLAHAN SUDUT

Pendahuluan 

Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi dalam segitiga. Selain bermanfaat untuk memahami segitiga, trigonometri juga memiliki aplikasi dalam fisika, astronomi, teknik, dan bidang lainnya. Di dalam trigonometri, terdapat konsep nilai istimewa, sifat-sifat trigonometri, dan rumus penjumlahan sudut yang sangat penting untuk dipelajari.

Nilai Istimewa Trigonometri

Dalam trigonometri, terdapat beberapa sudut istimewa yang sering digunakan dan memiliki nilai tetap. Sudut-sudut istimewa ini antara lain adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Berikut adalah tabel nilai istimewa dari sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut-sudut tersebut:

Nilai-nilai ini penting untuk mempermudah penyelesaian soal trigonometri tanpa kalkulator.

Sifat-Sifat Trigonometri

Trigonometri memiliki beberapa sifat dasar yang memudahkan perhitungan, antara lain:

1. Identitas Dasar Trigonometri

   • ${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$
   • $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$
     
   • $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$
     

2. Hubungan antara Sudut Berlawanan

   • $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$
     
   • $\cos (-\theta )=\cos (\theta )$
   • $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$

3. Hubungan Sudut Pelengkap (90°)

• $\sin (90\mathrm{°}-\theta )=\cos (\theta )$
• $\cos (90\mathrm{°}-\theta )=\sin (\theta )$
• $\tan(90° - \theta) = \cot(\theta)$
  

Rumus Penjumlahan Sudut dan Selisih Sudut

Rumus ini berguna untuk menemukan nilai sinus, cosinus, atau tangen dari dua sudut yang dijumlahkan atau dikurangkan.

1. Rumus Penjumlahan dan Selisih Sinus

   • $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\cos (a)\sin (b)$
   • $\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$

2. Rumus Penjumlahan dan Selisih Cosinus

   • $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
     
   • $\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$
     

     3.Rumus Penjumlahan dan Selisih Tangen

     • $\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$
     • $\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$
     ​​

Contoh Soal

Soal 1: Diketahui $\sin(a) = \frac{3}{5}$ $\cos(b) = \frac{5}{13}$ dengan $a$ dan $b$ berada di kuadran pertama. Tentukan nilai $\sin (a+b).$

Pembahasan:

1. Kita mencari $\cos (a$) menggunakan identitas $\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$
   

   $$\cos(a) = \sqrt{1 - \sin^2(a)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

2. Mencari $\sin(b)$ dengan cara yang sama:

   $$\sin(b) = \sqrt{1 - \cos^2(b)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

3. Menggunakan rumus $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
   

   $$\sin(a + b) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}$$

Soal 2: Jika $\tan(a) = \frac{3}{4}$ dan $\tan(b) = \frac{7}{24}$, hitung nilai $\tan(a + b)$.

Pembahasan:

Menggunakan rumus $\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

1. Menyubstitusi nilai $\tan (a)\; dan$$\tan(b)$:

   $$\tan(a + b) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{7}{24}}{1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{24}}$$

2. Menghitung pembilang:

   $$\frac{3}{4} + \frac{7}{24} = \frac{18}{24} + \frac{7}{24} = \frac{25}{24}$$

3. Menghitung penyebut:

   $$1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{24} = 1 - \frac{21}{96} = \frac{75}{96}$$

4. Jadi:

   $$\tan(a + b) = \frac{\frac{25}{24}}{\frac{75}{96}} = \frac{25 \cdot 96}{24 \cdot 75} = \frac{2400}{1800} = \frac{4}{3}$$
   

Kesimpulan

Trigonometri adalah bidang yang kaya dengan konsep dan rumus yang bermanfaat, terutama dalam perhitungan sudut-sudut segitiga. Memahami nilai-nilai istimewa dan sifat-sifat dasar trigonometri memudahkan kita untuk menyelesaikan banyak masalah matematika. Rumus penjumlahan dan selisih sudut seperti $\sin(a \pm b)$dan $\cos(a \pm b)$sering kali diperlukan dalam analisis sudut ganda dan perhitungan lain di berbagai bidang ilmu.

Daftar Pustaka

1. Purcell, Edwin J., Calculus with Analytic Geometry. New York: McGraw-Hill, 1980.
2. Swokowski, Earl W., Calculus and Analytic Geometry. PWS-Kent Publishing Company, 1991.
3. Larson, Ron, Robert P. Hostetler, dan Bruce H. Edwards. Precalculus. Brooks/Cole, 2007.