(a) Kecepatan proton agar memiliki radius lintasan yang sama dengan elektron.
(b) Jari-jari lintasan proton jika kecepatannya sama dengan elektron.
(c) Jari-jari lintasan proton jika memiliki energi kinetik yang sama dengan elektron.
(d) Jari-jari lintasan proton jika momentumnya sama dengan elektron.

Diketahui :

• Massa elektron: $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$
  
• Massa proton: $m_p=1.67\times 10^{-27}$
• Muatan elektron/proton: $q = 1.6 \times 10^{-19}$
  
• Medan magnet: $B$ (diasumsikan sama untuk keduanya)
• Kecepatan elektron: $v_e$ (diambil dari soal latihan yang disebutkan dalam buku)
• Energi kinetik elektron: $K{E}_e=\frac{1}{2}{m}_e{v}_e^2$
• Momentum elektron: $p_e = m_e v_e$

 Cara 1 (ChatGPT)

Jawaban:

(a) Kecepatan proton agar memiliki radius lintasan yang sama dengan elektron

Dua partikel memiliki jari-jari yang sama jika:

$$r_e = r_p$$

Dengan rumus $r = \frac{mv}{qB}$, maka:

$$\frac{m_e v_e}{qB} = \frac{m_p v_p}{qB}$$

Sederhanakan:

$$m_e v_e = m_p v_p$$

Sehingga kecepatan proton:

$$v_p = \frac{m_e}{m_p} v_e$$

Substitusi:

$$v_p = \frac{9.11 \times 10^{-31}}{1.67 \times 10^{-27}} v_e$$ $$v_p \approx 5.45 \times 10^{-4} v_e$$

Jadi, proton harus bergerak dengan kecepatan sekitar 0.000545 kali kecepatan elektron agar memiliki radius lintasan yang sama.

(b) Jari-jari lintasan proton jika kecepatannya sama dengan elektron

Jika $v_p = v_e$, maka jari-jari proton:

$$r_p = \frac{m_p v_e}{qB}$$

Karena $m_p \gg m_e$, maka

$$r_p = \frac{m_p}{m_e} r_e$$

Substitusi:

$$r_p = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{9.11 \times 10^{-31}} r_e$$ $$r_p \approx 1836 \cdot r_e$$

Jadi, jari-jari lintasan proton sekitar 1836 kali lebih besar dibanding elektron jika kecepatannya sama.

(c) Jari-jari lintasan proton jika memiliki energi kinetik yang sama dengan elektron

Energi kinetik sama berarti:

$$KE_p = KE_e$$ $$\frac{1}{2} m_p v_p^2 = \frac{1}{2} m_e v_e^2$$

Sederhanakan:

$$m_p v_p^2 = m_e v_e^2$$ $$v_p^2 = \frac{m_e}{m_p} v_e^2$$ $$v_p = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}} v_e$$ $$v_p = \sqrt{\frac{9.11 \times 10^{-31}}{1.67 \times 10^{-27}}} v_e$$ $$v_p \approx \frac{1}{43} v_e$$

Gunakan rumus jari-jari:

$$r_p = \frac{m_p v_p}{qB}$$

Substitusi $v_{\mathrm{p\; :}}$

$$r_p = \frac{m_p}{qB} \cdot \frac{1}{43} v_e$$ $$r_p = \frac{1}{43} \cdot \frac{m_p v_e}{qB}$$ $$r_p = \frac{1}{43} r_p' = \frac{1}{43} \times 1836 r_e$$ $$r_p \approx 43 r_e$$

Jadi, jari-jari lintasan proton sekitar 43 kali lebih besar dari elektron jika energinya sama.

(d) Jari-jari lintasan proton jika momentumnya sama dengan elektron

Momentum sama berarti:

$$p_p = p_e$$ $$m_p v_p = m_e v_e$$ $$v_p = \frac{m_e}{m_p} v_e$$ $$v_p = 5.45 \times 10^{-4} v_e$$

Gunakan rumus jari-jari:

$$r_p = \frac{m_p v_p}{qB}$$ $$r_p = \frac{m_p}{qB} \cdot \frac{m_e}{m_p} v_e$$ $$r_p = \frac{m_e}{qB} v_e$$ $$r_p = r_e$$

Jadi, jika momentumnya sama, jari-jari lintasan proton akan sama dengan elektron.

Cara 2 (GEMINI)

Jawaban:

(a) Kecepatan Proton Agar Jari-jari Lintasannya Sama dengan Elektron

Kita tahu bahwa jari-jari lintasan partikel bermuatan dalam medan magnet adalah :

$$r = \frac{mv}{qB}$$

Karena jari-jari lintasan proton sama dengan elektron, maka:

$$r_e = r_p$$

$$\frac{m_e v_e}{qB} = \frac{m_p v_p}{qB}$$

Muatan proton dan elektron sama besar namun berlawanan jenis, sehingga:

$$m_e{v}_e=m_p{v}_p$$

$$v_p = \frac{m_e}{m_p} v_e$$

Dari soal sebelumnya, kita dapatkan $v_e = 2 \times 10^7$ m/s, maka:

$$v_p = \frac{(9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}) (2 \times 10^7 \text{ m/s})}{1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}}$$ $$v_p \approx 1.09 \times 10^4 \text{ m/s}$$

(b) Jari-jari Lintasan Proton Jika Kecepatannya Sama dengan Elektron

Jika kecepatan proton sama dengan elektron ($v_p = v_e$), maka :

$$r_p = \frac{m_p v_e}{qB}$$

$v_e$ dari soal sebelumnya dan masukkan ke dalam rumus ini untuk mencari  

$r_p$.

(c) Jari-jari Lintasan Proton Jika Energi Kinetiknya Sama dengan Elektron

Energi kinetik partikel adalah:

$$KE = \frac{1}{2} mv^2$$

Jika energi kinetik proton sama dengan elektron, maka:

$$KE_e = KE_p$$ $$\frac{1}{2} m_e v_e^2 = \frac{1}{2} m_p v_p^2$$

$$m_e v_e^2 = m_p v_p^2$$

$$v_p = \sqrt{\frac{m_e}{m_p}} v_e$$

Setelah mendapatkan nilai $v_p$, kita bisa memasukkannya ke dalam rumus jari-jari lintasan untuk menghitung $r_p$.

(d) Jari-jari Lintasan Proton Jika Momentumnya Sama dengan Elektron

Momentum partikel adalah:

$$p = mv$$

Jika momentum proton sama dengan elektron, maka:

$$p_e = p_p$$ $$m_e v_e = m_p v_p$$

$$v_p = \frac{m_e}{m_p} v_e$$

Setelah mendapatkan nilai $v_p$, kita bisa memasukkannya ke dalam rumus jari-jari lintasan untuk menghitung $r_p$.

Cara 3 ( CARA SENDIRI)

53. Spektrometer massa digunakan untuk memisahkan oksigen-16 yang umum dari oksigen-18 yang jauh lebih langka, yang diambil dari sampel es glasial tua. (Kelimpahan relatif isotop oksigen ini terkait dengan suhu iklim pada saat es diendapkan.) Rasio massa kedua ion ini adalah 16 banding 18, massa oksigen-16 adalah 2,66×10^−26 kg dan mereka bermuatan tunggal dan bergerak pada 5,00 x 10^6 MSdalam medan magnet 1,20 T. Berapa jarak antara lintasan mereka saat mengenai target setelah melintasi setengah lingkaran?

PENYELESAIAN

Diketahui:

• Massa isotop oksigen-16: $m_{16} = 2,66 \times 10^{-26}$ kg
• Rasio massa isotop oksigen-16 dan oksigen-18: $\frac{m_{16}}{m_{18}} = \frac{16}{18}$
  → Massa isotop oksigen-18: $$m_{18} = \frac{18}{16} \times m_{16} = \frac{18}{16} \times (2,66 \times 10^{-26})$$ $$m_{18} \approx 2,99 \times 10^{-26} \text{ kg}$$
• Kecepatan ion: $v = 5,00 \times 10^6$ m/s
• Medan magnet: $B = 1,20$ T
• Muatan ion (muatan tunggal): $q = e = 1,6 \times 10^{-19}$ C

Ditanyakan:

Jarak antara lintasan kedua isotop setelah melintasi setengah lingkaran.

Cara 1 (ChatGPT)

Jawaban:

Jari-jari lintasan ion dalam medan magnet diberikan oleh rumus:

$$r = \frac{mv}{qB}$$

1. Hitung jari-jari lintasan untuk oksigen-16:

$$r_{16} = \frac{(2,66 \times 10^{-26} \text{ kg}) (5,00 \times 10^6 \text{ m/s})}{(1,6 \times 10^{-19} \text{ C}) (1,20 \text{ T})}$$ $$r_{16} = \frac{1,33 \times 10^{-19}}{1,92 \times 10^{-19}}$$ $$r_{16} \approx 0,692 \text{ m}$$

2. Hitung jari-jari lintasan untuk oksigen-18:

$$r_{18} = \frac{(2,99 \times 10^{-26} \text{ kg}) (5,00 \times 10^6 \text{ m/s})}{(1,6 \times 10^{-19} \text{ C}) (1,20 \text{ T})}$$ $$r_{18} = \frac{1,50 \times 10^{-19}}{1,92 \times 10^{-19}}$$ $$r_{18} \approx 0,781 \text{ m}$$

3. Hitung jarak antara lintasan kedua isotop setelah melintasi setengah lingkaran:

Ketika partikel menyelesaikan setengah lingkaran, jarak antara dua lintasan di titik akhir adalah:

$$\Delta d = 2 (r_{18} - r_{16})$$ $$\Delta d = 2 (0,781 - 0,692)$$ $$\Delta d = 2 (0,089)$$ $$\Delta d = 0,178 \text{ m} = 17,8 \text{ cm}$$

Jadi jarak antara lintasan oksigen-16 dan oksigen-18 setelah melintasi setengah lingkaran adalah 17,8 cm.

Cara 2 (GEMINI)